FACTORIZACIONES, UNA FORMA DE VER NÚMEROS PARES COMO NÚMEROS PRIMOS

David Fernando Méndez Oyuela¹

¹Universidad Nacional Autónoma de Honduras (UNAH), Departamento de Matemática Pura, Tegucigalpa, Honduras

Correo del autor correspondiente: david.mendez@unah.edu.hn

INTRODUCCIÓN

Inspirados en los trabajos [1] y [5], en [2] se desarrolló el concepto de -factorización, el mismo fue estudiado en forma más amplia en [3] y [4], entre otros, más adelante Ortiz [3] desarrolló varios proyectos de investigación sobre el tema, en el que se obtuvieron nuevos resultados. Los trabajos [6] y [7], extendieron más la teoría. Utilizando estos conceptos, se muestra cómo, utilizando la teoría de -factorizaciones es posible ver, por ejemplo, los números enteros de una manera totalmente distinta a la que se está acostumbrado, explicando como algunos números pares pueden ser vistos como números primos.

METODOLOGÍA

Para realizar este trabajo se utilizó el método deductivo, en el que se utilizan conceptos previos para generar nuevas ideas, específicamente, se utilizaron los trabajos mencionados en la introducción y con los conceptos planteados en ellos, se generó una explicación de cómo algunos números pares pueden ser vistos como números primos.

RESULTADOS

Los trabajos [1] y [5] motivaron a Anderson y Frazier en [2] a definir el concepto de -factorizaciones, la definición de este concepto fué la siguiente:

Definición 1. Sea un dominio integral y los elementos no nulos ni unidades de . Sea una relación simétrica sobre . Entonces se dice que es una -factorización de , si para todo y una unidad en .

Utilizando esta definición se exploró cómo esto cambia la estructura de un dominio integral, por ejemplo, adaptaron los conceptos de “primo” e “irreducible” utilizando la definición y obtuvieron nuevos conceptos que llamaron -primo y -irreducible, respectivamente. Para lograr esto, utilizaron el concepto de relación y observaron que necesitaban que las relaciones cumplieran ciertas características, en forma resumida, una relación simétrica es divisiva si cuando y , entonces , la relación preserva asociados si cuando y , entonces y la relación es multiplicativa si cuando y , entonces .

Mediante el uso de estos conceptos, se procede a explicar como algunos números pares (distintos de 2) pueden ser vistos como números primos en el conjunto de los números enteros . Sea y un entero positivo fijo, entonces se define la relación sobre como si y solo si . Observe que si y solo si para algún . Pero esto es equivalente a decir que . Es decir, , donde es la relación de congruencia módulo sobre . Para nuestro caso de interés, consideremos , ¿qué elementos están relacionados bajo ? todos los pares están relacionados entre si y todos los impares también. Pero esto es precisamente lo que necesitamos, ¿por qué? veamos algunos ejemplos:

Consideremos el número par 30, desde el punto de vista usual en los números enteros, este número no es primo. Pero consideremos la estructura de -factorizaciones en . Sabemos que , pero , lo que implica que la única factorización válida para es , ya que se da el mismo problema con , por lo tanto es un -primo.

En general, note que cualquier número par que sea de la forma cumplirá las mismas características del ejemplo anterior, por lo que se ha obtenido una cantidad infinita de números pares que son primos ( -primos).

Es importante resaltar que este ejemplo es un caso particular que ocurre en , pero la teoría de factorizaciones aplica a cualquier dominio integral abstracto . Para ver ejemplos abstractos, se recomienda ver [2] o [6].

CONCLUSIONES

Se ha obtenido una forma de ver algunos números pares como números primos, cosa que en la estructura básica de los números enteros es imposible. Este tipo de estructura se puede utilizar en aplicaciones relacionadas a teoría de códigos, entre otros, ya que éstas dependen de la estructura de los números primos.

REFERENCIAS

Anderson, D. D., Anderson, D. F., y Zafrullah, M. (1990). Factorization in integral domains. J. Pure Appl. Algebra, 69, 1–19. doi: 10.1016/0022-4049(90)90074-R

Anderson, D. D., y Frazier, A. M. (2011). On a general theory of factorization in integral domains. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 41(3), 660-705. doi: 10.1216/RMJ-2011-41-3-663

Anderson, D. D., y Ortiz Albino, R. M. (2012). Three frameworks for a general theory of factorization. Arabian Journal of Mathematics, 1, 1-16. doi: 10.1007/s40065-012-0012-7

Juett, J. R. (2014). Two counterexamples in abstract factorization. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 44(1), 139-155. doi: 10.1216/RMJ-2014-44-1-139

McAdam, S., y Swan, R. G. (2004). Unique comaximal factorization. J. Algebra, 276, 180–192. doi: 10.1016/j.jalgebra.2004.02.007

Méndez-Oyuela, D. F. (2019). Composición de relaciones y τ-factorizaciones. Revista SICES, 2, 44-50. Descargado de https://view.joomag.com/revista-sices-segunda-edici%C3%B3n-2019-julio-2019/0331541001562768209?short&

Méndez-Oyuela, D. F. (2020). Condiciones para obtener factorizaciones únicas en la categoría rel(d#). Matemática, ESPOL - FCNM Journal, 18. Descargado de http://www.revistas.espol.edu.ec/index.php/matematica/article/view/695

Cómo citar este trabajo (Vancouver):
Méndez Oyuela DF. FACTORIZACIONES, UNA FORMA DE VER NÚMEROS PARES COMO NÚMEROS PRIMOS [resumen]. En: Vispo NS, editor. Memorias del Congreso de Investigación y Posgrado UNAH 2024: Libro de resúmenes. Madrid/Tegucigalpa: Clinical Biotec S.L.; Universidad Nacional Autónoma de Honduras; 2024. doi: 10.70099/cb/unah/2024.mem

ISBN del libro: 978-84-09-76685-7